TOÁN 11 BÀI 1 TRANG 57

     

Hướng dẫn giải bài xích §3. Nhị thức Niu – Tơn, Chương II. Tổ thích hợp – Xác suất, sách giáo khoa Đại số với Giải tích 11. Nội dung bài xích giải bài bác 1 2 3 4 5 6 trang 57 58 sgk Đại số và Giải tích 11 bao hàm tổng thích hợp công thức, lý thuyết, phương thức giải bài tập đại số với giải tích tất cả trong SGK sẽ giúp đỡ các em học sinh học giỏi môn toán lớp 11.

Bạn đang xem: Toán 11 bài 1 trang 57

Lý thuyết

I. Công thức nhị thức Niu – Tơn

Với (a, b) là hồ hết số thực tùy ý và với tất cả số tự nhiên và thoải mái (n ≥ 1), ta có:

((a + b)^n = C_n^0a^n + C_n^1a^n – 1b + … +)

(C_n^n – 1ab^n – 1 + C_n^nb^n(1))

Quy ước:

Với (a) là số thực khác (0) với (n) là số thoải mái và tự nhiên khác (0), ta quy ước:

(a^0 = 1); (a^-n= 1 over a^n).

Chú ý:

Với những điều kiện cùng quy cầu ở trên, bên cạnh đó thêm điều kiện (a) và (b) mọi khác (0), hoàn toàn có thể viết phương pháp (1) sinh hoạt dạng sau đây:

(left( a + b ight)^n = sumlimits_k = 0^n C_n^ka^n – kb^k = sumlimits_k = 0^n a^kb^n – k )

II. Tam giác Pa-Xcan (Pascal)

Tam giác Pascal là tam giác số ghi vào bảng:

*

Cấu chế tạo ra của tam giác Pascal:

– những số làm việc cột ) với ở “đường chéo” đều bởi (1).

– Xét nhị số sống cột (k) và cột (k + 1), đồng thời cùng thuộc cái (n), ((k ≥ 0; n ≥1)), ta có: tổng của nhị số này bằng số đứng làm việc giao của cột (k + 1) và loại (n + 1).

Tính hóa học của tam giác Pascal:

Từ cấu tạo của tam giác Pascal, có thể chứng tỏ được rằng:

a) Giao của dòng (n) cùng cột (k) là (C_n^k)

b) những số của tam giác Pascal thỏa mãn nhu cầu công thức Pascal:

(C_n^k + C_n^k + 1 = C_n + 1^k + 1)

c) các số ở cái (n) là những hệ số trong triển khai của nhị thức ((a + b)^n) (theo bí quyết nhị thức Niu – Tơn), với (a, b) là nhị số thực tùy ý. Chẳng hạn, những số ở chiếc (4) là các hệ số trong khai triển của ((a + b)^4) (theo công thức nhị thức Niu – Tơn) bên dưới đây:

(left( a m + m b ight)^4 = m a^4 + m 4a^3b m + m 6a^2b^2 + m 4ab^3 m + m b^4).

III. Bài xích toán

Xác định hệ số của số hạng cất (x^m) vào khai triển:

(left( ax^p + bx^q ight)^n) cùng với (x > 0) ((p,q) là những hằng số khác nhau).

Phương pháp giải:

Ta có:

(left( ax^p + bx^q ight)^n = sumlimits_k = 0^n C_n^kleft( ax^p ight)^n – kleft( bx^q ight)^k = sumlimits_k = 0^n C_n^ka^n – kb^kx^np – pk + qk )

Số hạng cất (x^m) ứng với giá trị (k) thỏa: (np – võ thuật + qk = m).

Từ kia tìm (k = fracm – npp – q)

Vậy hệ số của số hạng đựng (x^m) là: (C_n^ka^n – k.b^k) với giá trị (k) đã tìm kiếm được ở trên.

Nếu (k) không nguyên hoặc (k > n) thì trong khai triển không đựng (x^m), thông số phải tìm bởi 0.

Chú ý: Xác định thông số của số hạng cất (x^m) vào khai triển

(Pleft( x ight) = left( a + bx^p + cx^q ight)^n) được viết bên dưới dạng (a_0 + a_1x + … + a_2nx^2n).

Ta làm cho như sau:

Viết (Pleft( x ight) = left( a + bx^p + cx^q ight)^n = sumlimits_k = 0^n C_n^ka^n – kleft( bx^p + cx^q ight)^k );

Viết số hạng tổng quát khi khai triển những số hạng dạng (left( bx^p + cx^q ight)^k) thành một nhiều thức theo luỹ quá của x.

Từ số hạng tổng quát của nhì khai triển trên ta tính được thông số của (x^m).

Chú ý: Để khẳng định hệ số lớn số 1 trong khai triển nhị thức Niutơn

Ta làm như sau:

Tính thông số (a_k) theo (k) cùng (n);

Giải bất phương trình (a_k – 1 le a_k) với ẩn số (k);

Hệ số lớn số 1 phải kiếm tìm ứng cùng với số thoải mái và tự nhiên k lớn số 1 thoả mãn bất phương trình trên.

Xem thêm: Vở Bài Tập Tiếng Việt Lớp 3 Trang 78, 79 Tập Làm Văn

Dưới đó là phần hướng dẫn vấn đáp các câu hỏi và bài xích tập trong phần hoạt động của học sinh sgk Đại số và Giải tích 11.

Câu hỏi

1. Trả lời thắc mắc 1 trang 55 sgk Đại số với Giải tích 11

Khai triển biểu thức (a + b)4 thành tổng những đơn thức.

Trả lời:

Ta có:

(a + b)4 = (a + b)3(a + b)

= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 )(a + b)

= a4 + 3a3b + 3a2b2 + ab3 + a3b + 3a2b2 + 3ab3 + b4

= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 57 sgk Đại số với Giải tích 11

Dùng tam giác Pa-xcan, chứng minh rằng:

a) $1 + 2 + 3 + 4 $= C25;

b) $1 + 2 + … + 7 $= C28.

Trả lời:

a) phụ thuộc vào tam giác Pa-xcan:

C14 = 4; C24 = 6; C25 = C14 + C24 $= 4 + 6 = 10$

Mà: $1 + 2 + 3 + 4 = 10$

⇒ $1 + 2 + 3 + 4 $= C25

b) phụ thuộc vào tam giác Pa-xcan:

C17 = 7; C27 = 21 ;C28 = C17 + C27 $= 7 + 21 = 28$

$1 + 2 +⋯+ 7 =$ ((1 + 7).7)/2 $= 28$

$⇒ 1 + 2 +⋯+ 7 $= C28

Dưới đó là phần giải đáp giải bài bác 1 2 3 4 5 6 trang 57 58 sgk Đại số với Giải tích 11. Chúng ta hãy hiểu kỹ đầu bài trước lúc giải nhé!

Bài tập

duhoctop.vn ra mắt với các bạn đầy đủ phương thức giải bài xích tập đại số với giải tích 11 kèm bài bác giải đưa ra tiết bài 1 2 3 4 5 6 trang 57 58 sgk Đại số và Giải tích 11 của bài xích §3. Nhị thức Niu – Tơn trong Chương II. Tổ đúng theo – xác suất cho chúng ta tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài xích tập chúng ta xem dưới đây:

*
Giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 57 58 sgk Đại số cùng Giải tích 11

1. Giải bài bác 1 trang 57 sgk Đại số và Giải tích 11

Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu – Tơn:

a) ((a + 2b)^5);

b) (small (a – sqrt2)^6);

c) (small (x – frac1x)^13).

Bài giải:

a) Ta có:

((a + 2b)^5= C_5^0a^5+C_5^1a^4(2b)+C_5^2a^3(2b)^2)

(+ C_5^3a^2(2b)^3+C_5^4a(2b)^4+C_5^5(2b)^5)

(= a^5 + 10a^4b + 40a^3b^2 + 80a^2b^3 + 80ab^4 + 32b^5)

b) Theo chiếc 6 của tam giác Pascal, ta có:

((a – sqrt2)^6 = ^6)

(=a^6 + 6a^5 (sqrt2) + 15a^4 (sqrt2)^2 + 20a^3 (sqrt2)^3)

(+ 15a^2 (sqrt2)^4 + 6a(sqrt2)^5 + (-sqrt2)^6.)

(= a^6 – 6sqrt2a^5 + 30a^4 – 40sqrt2a^3 + 60a^2 – 20sqrt2a + 8.)

c) Theo cách làm nhị thức Niu – Tơn, ta có:

(left ( x-frac1x ight )^13=C_13^0x^13-C_13^1x^12frac1x+ C_13^2x^11frac1x^2-C_13^3x^10frac1x^3)

(+C_13^4x^9frac1x^4-C_13^5x^8frac1x^5+ C_13^6x^7frac1x^6 -C_13^7x^6frac1x^7)

(+ C_13^8x^5frac1x^8-C_13^9x^4frac1x^9+ C_13^10x^3frac1x^10-C_13^11x^2frac1x^11)

(+C_13^12xfrac1x^12-C_13^13frac1x^13)

(=x^13-13x^11+78x^9-286x^7+715x^5-1287x^3+1716x)

(-frac1716x+frac1287x^3-frac715x^5+frac286x^7- frac78x^9+frac13x^11-frac1x^13)

2. Giải bài bác 2 trang 58 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Tìm hệ số của x3 trong triển khai của biểu thức: (small (x +frac2x^2 )^6).

Bài giải:

Số hạng tổng thể của triển khai là: (C_6^k.x^6-k.left ( frac2x^2 ight )^k)

Ta có: (C_6^k.x^6-k.left ( frac2x^2 ight )^k=2^k.C_6^k.x^6-k.x^2k= 2^k.C_6^k.x^6-3k)

Số hạng đựng (x^3) vào khai triển đã là (2^k.C_6^k.x^6-3k) với (6-3k=3).

Từ (1) ta tất cả (3k=6-3Leftrightarrow 3k=3Leftrightarrow k=1)

Ta có: (2^1C_6^1=2.frac6!1!(6-1)!=2.6=12)

Vậy thông số của (x^3) vào khai triển bởi 12.

3. Giải bài xích 3 trang 58 sgk Đại số với Giải tích 11

Biết thông số của x2 trong triển khai của (small (1 – 3x)^n) là $90$. Tìm kiếm $n$.

Bài giải:

Ta tất cả ((1-3x)^n=C_n^0-C_n^13x+C_n^2(3x)^2-C_n^3(3x)^3+…+ C_n^n(-3x)^n.)

Từ đây, ta có hệ số của (x^2) là (9C_n^2). Do đó, ta có:

(9C_n^2=90Leftrightarrow C^2_n=10Leftrightarrow fracn!(n-2)!.2!=10Leftrightarrow n(n-1)=20)

(Leftrightarrow n^2 – n – 10 = 0Leftrightarrow n = 5 (vi nin mathbbN))

4. Giải bài xích 4 trang 58 sgk Đại số với Giải tích 11

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của (small (x^3 +frac1x )^8).

Bài giải:

Số hạng tổng thể của khai triển là: (C_8^k(x^3)^8-k.left ( frac1x ight )^k= C_8^kx^24-3kx^-k=C_8^k.x^24-4k)

Số hạng không đựng $x$ trong khai triển ứng với mức giá trị của $k$ là:

(24-4k=0Leftrightarrow k=6)

Ta có: (C_8^6=frac8!6!(8-6)!=28)

Vậy số hạng không chứa x trong triển khai là $28$.

5. Giải bài 5 trang 58 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Từ triển khai biểu thức (small (3x – 4)^ 17 ) thành nhiều thức, hãy tính tổng những hệ số của đa thức dìm được:

Bài giải:

Đặt (f(x)=(3x-4)^17=a_17x^17+a_16x^16+…+a_1x+a_0)

Ta đề xuất tính: (a_0+a_1+a_2+…+a_17)

Dễ thấy (f(1)=(3-4)^17=a_+a_1+…+a_17)

(Leftrightarrow a_0+a_1+a_2+…+a_17=-1)

6. Giải bài bác 6 trang 58 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Chứng minh rằng:

a) (small 11^10 – 1) chia hết đến $100$;

b) (small 101^100 – 1) phân tách hết mang đến $10 000$;

c) (small sqrt10<(1+sqrt10)^100-(1-sqrt10)^100>) là một số trong những nguyên.

Bài giải:

a) Ta có:

(11^10- 1 = (1 + 10)^10 =C_10^0.10^10+C_10^1.10^9+…)(+ C_10^8.10^2+C_10^9.10+C_10^10)

(=100(C_10^0.10^8+C_10^1.10^7+…+ C_10^8+1)+1)

Tổng sau cùng chia hết mang lại 100 suy ra 1110 – 1 phân tách hết đến 100.

Xem thêm:
Trắc Nghiệm Sinh Học 10 Bài 16 Có Đáp Án Năm 2021, Trấc Nghiệm Sinh Học 10 Bài 16: Hô Hấp Tế Bào

b) Ta có:

(101^100=(100+1)^100=C_100^0.100^100)

(+C_100^1.100^99+…+ C_100^99.100+C_100^100)

(=100^2left < C_100^0.100^98+C_100^1.100^97+…+1 ight >)

Vậy (101^100=10000left < C_100^0.100^98+C_100^1.100^97+…+1 ight >) phân chia hết đến 10 000.

c) Ta có:

((1+sqrt10)^100=C_100^0+C_100^1sqrt10+C_100^2sqrt10^2+…+)(C_100^99sqrt10^99+C_100^100)

((1-sqrt10)^100=C_100^0+C_100^1sqrt10+C_100^2sqrt10^2+…-)(C_100^99sqrt10^99+C_100^100)

Do đó: ((1+sqrt10)^100-(1-sqrt10)^100=2 left ( C_100^0+C_100^1sqrt10+C_100^2sqrt10^2+…+ C_100^99sqrt10^99 ight ))

Vậy nên: (sqrt40left < (1+sqrt10)^100-(1-sqrt10)^100 ight >.)

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Chúc các bạn làm bài giỏi cùng giải bài bác tập sgk toán lớp 11 với giải bài xích 1 2 3 4 5 6 trang 57 58 sgk Đại số cùng Giải tích 11!